Question

11．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC=8，AB=10，求菱形ADCF的面积．

Answer 1

分析 （1）可先证得△AEF≌△DEB，可求得AF=DB，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD=CD，可证得结论；
（2）根据条件可证得S_菱形ADCF=S_△ABC，结合条件可求得答案．

解答 （1）证明：
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠AEF=∠DEB}\\{AE=DE}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=DB，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：
设AF到CD的距离为h，
∵AF∥BC，AF=BC=CD，∠BAC=90°，
∴S_菱形ADCF=CD•h=$\frac{1}{2}$BC•h=S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=40．

点评 本题主要考查菱形的判定和性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键，注意直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的应用．