Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D在AB上，AD=2，点E、F同时从点D出发，分别沿DA、DB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒，正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S．

（1）当t为何值时，正方形EFGH的顶点G刚好落在线段AC上；
（2）当0＜t≤2时，求出s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）当t≥2时，是否存在t的值，使△EGB为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：压轴题

分析：（1）分两种情况：当0＜t＜2时，如图1-1：GF=2t，AF=2+t；当2＜t＜8时，如图1-2：GF=4，AF=2+t；根据相似三角形的性质即可求得t的值；
（2）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤

6

11

时；②当

6

11

＜t≤

6

5

时；③当

6

5

＜t≤2时；依次求S与t的函数关系式；
（3）以E为顶点，以G为顶点，以B为顶点，分三种情况讨论即可求得t的值．

解答：解：（1）当0＜t＜2时，如图1-1：GF=2t，AF=2+t
因为△AFG～△ACB，所以

GF

BC

=

AF

AC

，即

2+t

8

=

2t

6

，所以t=

6

5

当2＜t＜8时，如图1-2：GF=4，AF=2+t
因为△AFG～△ACB，所以

GF

BC

=

AF

AC

，即

2+t

8

=

4

6

，所以t=

10

3

即：当t=

6

5

或t=

10

3

时，正方形EFGH的顶点G刚好落在线段AC上

（2）①当0＜t≤

6

11

时，s与t的函数关系式是：s=2t•2t=4t²；
②当

6

11

＜t≤

6

5

时，如图2-1所示：HN=2t-

3

4

(2-t)=

11

4

t-

3

2

，HM=

4

3

HN=

4

3

(

11

4

t-

3

2

)；
s与t的函数关系式是：S=S正方形EFGH-S△MHN=4t2-

1

2

•HN•HM
所以s=4t2-

1

2

•

4

3

•[

11

4

t-

3

2

]2=-

25

24

t2+

11

2

t-

3

2

；
③当

6

5

＜t≤2时，如图2-2，AF=t+2，FM=

3

4

(t+2)，AE=2-t，EN=

3

4

(2-t)，
s与t的函数关系式是：S=S△AFM-S△AEN=

1

2

×

3

4

(t+2)2-

1

2

×

3

4

(2-t)2=3t；

（3）当t≥2时，存在使△EGB为等腰三角形的t的值．
EG=4

2

，BE=10-（t-2）=12-t，BG=

(8-t)2+16

①当EG=EB时，4

2

=12-t，t=12-4

2

；
②当GE=GB时，4

2

=

(8-t)2+16

，解得：t₁=4，t₂=12（舍去）；
③当BE=BG时，12-t=

(8-t)2+16

，解得：t=8．
综上所述：当t=12-4

2

，t=4，t=8时，△EGB为等腰三角形．

点评：此题主要考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、等腰三角形的性质、正方形及勾股定理的性质，分类思想的运用，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力．