Question

已知a、b、c为三角形的三边，且a²+4ac+3c²-3ab-7bc+2b²=0，求证：2b=a+c．

Answer 1

考点：因式分解的应用,三角形三边关系

专题：证明题

分析：先把已知条件变形为关于a的一元二次方程a²+（4c-3b）a+3c²-7bc+2b²=0，则a²+（4c-3b）a+（3c-b）（c-2b）=0，利用因式分解法得到[a+（3c-b）][a+（c-2b）]=0，然后根据三角形三边的关系即可得到结论、

解答：解：∵a²+4ac+3c²-3ab-7bc+2b²=0，
∴a²+（4c-3b）a+3c²-7bc+2b²=0，
∴a²+（4c-3b）a+（3c-b）（c-2b）=0，
∴[a+（3c-b）][a+（c-2b）]=0，
即（a+3c-b）（a+c-2b）=0，
∵a、b、c为三角形的三边，
∴a+3c-b＞0，
∴a+c-2b=0，
即2b=a+c．

点评：本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．