已知:如图.直角坐标系内的矩形ABCD.顶点A的坐标为(0.3)BC＝2AB.P为AD边上一动点.以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F.过P.F作直线l.交BC边于点E．当点P运动到点P1位置时.直线l恰好经过点B此时直线的解析式是y＝2x+1． (1)求BC.AP1的长, (2)设AP＝m.梯形PECD的面积为S.求S与m之间的函数关系式.写出自变量m的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知：如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为(0，3)BC＝2AB，P为AD边上一动点(与点A、D不重合)，以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线l，交BC边于点E．当点P运动到点P₁位置时，直线l恰好经过点B此时直线的解析式是y＝2x＋1．

(1)求BC、AP₁的长；

(2)设AP＝m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；

(3)以点E为圆心作⊙E与x轴相切．

①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种不同的位置关系？并求出AP相应的取值范围；

②当直线l把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3∶5时，则⊙P和⊙E的位置关系如何？并请说明理由．

答案：
解析：

　　(1)∵A(0，3)，∴OA＝3．∵直线l₁的解析式是y＝2x＋1，∴B(0，1)，OB＝1，AB＝OA－OB＝2．∵BC＝2AB，∴BC＝4．∵点P是AD上一动点，且A(0，3)，∴P₁点纵坐标是3．∵点P₁在直线y＝2x＋l上，∴P₁(1，3)，AP₁＝1;

　　(2)∵AP＝m，AD＝4，∴PD＝4－m，P₁P＝m－1．∵⊙P与对角线AC相切于点F，∴∠AF₁P₁＝∠AFP＝，∴P₁B∥PE，∵AD∥BC，∴BE＝P₁P＝m－1，EC＝5m，∴S＝(PD＋EC)·CD＝(9－2m)×2＝9－2m，自变量m的取值范围为1≤m＜4;

　　(3)①在Rt△ABP₁中，∵AB＝2，AP₁＝1，∴BP₁＝，点P在AD上运动时，圆心距EP的长总等于，当⊙P和⊙E相切时，此时PF＝EP－EF＝－1，∵Rt△APF∽Rt△ACD，∴＝，∴AP＝5－，当1≤m＜5－时，两圆外离；当m＝5－时，两圆外切；当5－＜m＜4时，两圆相交．②∵矩形ABCD的面积是8，且直线l把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3∶5，∴S_{四边形PECD}＝5或S_{四边形PECD}＝3．当S_{四边形PECD}＝5时，9－2m＝5，m＝2，即AP＝2，∴1＜AP＜5－．∴此时两圆外离；当S_{四边形PECD}＝3时，9－2m＝3，m＝3，即AP＝3，∴5－＜AP＜4．∴此时两圆相交．综上所述，当直线l把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3∶5时，则⊙P和⊙E的位置关系是外离或相交．