Question

已知AB是⊙O中一条长为4的弦，P是⊙O上一动点，且cos∠APB＝，求△APB面积的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

简解：取优弧中点C，连结AC、BC，过C作弦AB的垂线CD，D为垂足，CD经过圆心O，连结OA(上图)． 　　易知∠AOD∠ACB∠P，cos∠AOD＝cos∠P＝＝， 　　设OD＝x，OA＝3x，于是(3x)2－x2＝4， 　　解得x＝，（舍去负值）． 　　OD＝，OA＝OC＝， 　　∴CD＝OD＋OC＝2， 　　∴S△ACB＝AB·CD＝4． 　　所以△APB面积的最大值为4． 　　简评：取点P的极端位置C，确定了面积最大的三角形． 　　分析：因cos∠APB＝，所以∠P≠90°，弦AB不是直径，当点P运动到优弧中点C(极端位置)时，三角形的高最大，因此面积最大．