Question

7．如图，△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M、N分别是OB、OC的中点，连接DE、EM、MN、ND．
（1）求证：四边形DEMN是平行四边形；
（2）若四边形DEMN是菱形，且BC=4cm，AC=6cm，求边AB的长．

Answer 1

分析 （1）由中位线定理，可得ED∥BC，MN∥BC，且都等于边长BC的一半．分析到此，此题证明即可．
（2）作BC边上的中线AF，交BD于G，连接DF，作FH⊥AC于HAP⊥BC于P．想办法求出AF即可解决问题；

解答 （1）证明：∵BD、CE分别是AC、AB上的中线，
∴点E为线段AB的中点，点D为线段AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且BC=2DE．
∵点M、N分别是OB、OC的中点，
∴MN为△OBC的中位线，
∴MN∥BC，且BC=2MN．
∴DE∥MN，DE=MN，
∴四边形DEMN是平行四边形，
（2）作BC边上的中线AF，交BD于G，连接DF，作FH⊥AC于HAP⊥BC于P．
∵BD、AF是边AC、BC上的中线，
∴DF∥BA，DF=$\frac{1}{2}$BA．
∴△DOF∽△BOA，
∴$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
即BD=3DO，
∵四边形DEMN是菱形，且BC=4cm，AC=6cm，
∴EM=DN=MN=2cm，
∴OA=4，OF=3，AF=6，
易知AF=AC=6．PF=PC=1，AP=$\sqrt{35}$，
FH=$\frac{CF•AP}{AC}$=$\frac{\sqrt{35}}{3}$，CH=$\frac{1}{3}$，DH=$\frac{8}{3}$，DF=$\sqrt{F{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
∴AB=2DF=2$\sqrt{11}$．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．