题目内容
如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）若点A的坐标是（6，－3），求△ANO的面积；
（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：
①证明：∠ANM＝∠ONM；
②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．
（1）
（2）12
（3）相似三角形的基本知识推出该角度的相等，不能
【解析】
试题分析：（1）∵二次函数图象的顶点为P（4，－4），∴设二次函数的关系式为
。
又∵二次函数图象经过原点（0，0），∴
，解得
。
∴二次函数的关系式为
，即。（2分）
（2）设直线OA的解析式为
，将A（6，－3）代入得
，解得
。
∴直线OA的解析式为
。
把x=4代入
得y=-2。∴M（4，－2）。
又∵点M、N关于点P对称，∴N（4，－6），MN=4。
∴
。（3分）
（3）①证明：过点A作AH⊥
于点H，，与x轴交于点D。则
设A（
）,
则直线OA的解析式为
。
则M（
），N（
），H（
）。
∴OD=4，ND=
，HA=
，NH=
。
∴
。
∴
。∴∠ANM=∠ONM。（2分）
②不能。理由如下：分三种情况讨论：
情况1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=450，
∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH，即
。
整理，得
，解得
。
∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。
情况2，若∠AON是直角，则
。
∵
，
∴
。
整理，得
，解得
，。
∴此时，故点A与原点或与点P重合。故此时不存在点A，使∠AON是直角。
情况3，若∠NAO是直角，则△AMN∽△DMO∽△DON，∴
。
∵OD=4，MD=
，ND=，∴
。
整理，得，解得。
∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。
综上所述，当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动时，△ANO不能成为直角三角形。（3分）
考点：二次函数的综合题
点评：在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键．
如图，顶点为D的抛物线y=x2+bx-3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，连接BC，已知△BOC是等腰三角形．
已知tan∠ABC=1．
（2013•怀集县一模）如图，顶点为P（4，-4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，
（2012•海南）如图，顶点为P（4，-4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON，