Question

15．已知x₁，x₂是一元二次方程x²-3x-1=0的两根，不解方程求下列各式的值：
（1）x₁+x₂；
（2）x₁x₂；
（3）x₁²+x₂²；
（4）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根据x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$可得；
（2）根据x₁x₂=$\frac{c}{a}$可得；
（3）由（1）（2）中结果，再根据x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，计算可得；
（4）将x₁+x₂、x₁x₂代入$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$可得．

解答 解：（1）∵x₁，x₂是一元二次方程x²-3x-1=0的两根，
∴x₁+x₂=-$\frac{-3}{1}$=3；
（2）∵x₁，x₂是一元二次方程x²-3x-1=0的两根，
∴x₁x₂=$\frac{-1}{1}$=-1；
（3）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=3²-2×（-1）=11；
（4）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{3}{-1}$=-3．

点评 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$、x₁x₂=$\frac{c}{a}$是解题的关键．