如图①.直线y=$\frac{1}{2}$x-2分别与坐标轴交于A.B两点.点C为反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上一点.且△ACB是以AB为底的等腰直角三角形．(1)求反比例函数的解析式,(2)如图②.点M为反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上一点.且S△MAB=S△OAB.求M点的坐标,(3)如图③.点P为y轴上一点.点Q为双曲线上一点.四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．如图①，直线y=$\frac{1}{2}$x-2分别与坐标轴交于A，B两点，点C为反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象（第一象限）上一点，且△ACB是以AB为底的等腰直角三角形．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图②，点M为反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象（第一象限）上一点，且S_△MAB=S_△OAB，求M点的坐标；
（3）如图③，点P为y轴上一点，点Q为双曲线上一点，四边形ABQP为等腰梯形，求直线BQ的解析式．

分析（1）首先求得A、B的坐标，进而利用待定系数法即可求得直线CD的解析式，然后根据AC⊥BC，则直线AC与直线BC的解析式的一次项次数互为负倒数即可求得C的坐标，从而利用待定系数法求得k的值；
（2）根据等腰直角三角形的性质，求出D点的坐标，再根据两直线垂直得到CD的斜率，从而求出CD的解析式，再解方程组求出交点坐标，得到M点的坐标；
（3）延长BQ交y轴与点C，四边形ABQP为等腰梯形，所以∠PAB=∠QBA，所以CA=CB，设出点C的坐标，根据CA=CB，列方程求出点C的纵坐标，再把点B的坐标代入，及求得BQ的解析式．

解答解：如图1 在y=$\frac{1}{2}$x+1中，令x=0，解得：y=-2，则A的坐标是（0，-2）；
令y=0，解得：x=4，则B的坐标是（4，0），
设AB的中点为D，连接CD，
则D的坐标是（2，-1），
∵△ACB是以AB为底的等腰直角三角形，
∴CD⊥AB，AB=2$\sqrt{5}$，AC=BC=$\sqrt{10}$
设直线CD的解析式是y=-2x+b，
代入D的坐标是（2，-1），
得b=3，
∴CD的解析式：y=-2x+3，
设C（x，-2x+3），
则${x}^{2}{+（-2x+3+2）}^{2}{=（\sqrt{10}）}^{2}$，
解得x₁=1，x₂=3（不合题意舍去），
∴C（1，1），
设反比例函数的解析式：y=$\frac{k}{x}$，代入C（1，1），
得k=1，
∴反比例函数的解析式：y=$\frac{1}{x}$；

（2）∵点M为反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象（第一象限）上一点，∵S_△MAB=S_△OAB，
∴直线OM∥AB，∴直线OM的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
∴解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\sqrt{2}}\\{{y}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\sqrt{2}}\\{{y}_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$（不合题意舍去），
∴M（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；

（3）如图3，延长BQ交y轴与点C，
∵四边形ABQP为等腰梯形，
∴∠PAB=∠QBA，
∴CA=CB，
设直线BQ的解析式为y=kx+b，
则C（0，b），
∴（b+2）²=b²+4²，
∴b=6，
把b=6、B（4，0）代入y=kx+b，
∴k=-$\frac{3}{2}$，
∴直线BQ的解析式为：y=-$\frac{3}{2}$x+3．