Question

4．（1）如图1，等边三角形ABC的边长为6，建立适当的直角坐标系，并写出各点的坐标．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90°，试求∠A的度数．

Answer 1

分析 （1）先画出坐标系，再求出坐标即可；
（2）连接AC，则可以计算△ABC的面积，根据AB、BC可以计算AC的长，根据AC，AD，CD可以判定△ACD为直角三角形，即可求出答案．

解答 解：（1）

∵在等边△ABC中，AB=AC=BC=6，CO⊥AB，
∴AO=OB=3，CO=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴A（-3，0），B（3，0），C（0，3$\sqrt{3}$）；

（2）连接AC，

在直角△ABC中，AC为斜边，且AB=BC=2，则AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵AD=1，CD=3，
∴AC²+AD²=CD²，
即△ACD为直角三角形，且∠DAC=90°，
∴∠DAB=45°+90°=135°．

点评 本题考查了等边三角形的性质，平面直角坐标系，勾股定理在直角三角形中的运用，考查了勾股定理的逆定理的运用，考查了直角三角形面积计算，第二题中求证△ACD是直角三角形是关键．