Question

7．已知：如图1，△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）如图2，当直线AC与⊙O相切时，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OE，只要证明OE⊥EF，只要证明OE∥AC即可解决问题．
（2）设直线AC与⊙O相切于点G，连接OG，则OB=OG=r，OA=4-r，在Rt△AOG中，根据sinA=$\frac{OG}{OA}$，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）证明：连接OE．

∵△ABC是等边三角形∴∠B=∠C=60°；
又∵OB=OE∴∠OEB=∠B=∠C=60°；
∴OE∥AC；
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OE
∴EF是⊙O的切线．

（2）设直线AC与⊙O相切于点G，连接OG，则OB=OG=r，OA=4-r

在Rt△AOG中，sinA=$\frac{OG}{OA}$，
∴$\frac{r}{4-r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：r=8$\sqrt{3}$-12．

点评 本题考查切线的判定和性质、等边三角形的性质、锐角三角函数的等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．