Question

如图，在矩形ABCD中，E是CD边上任意一点（不与点C，D重合），作AF⊥AE交CB的延长线于点F．
（1）求证：△ADE∽△ABF；
（2）连接EF，M为EF的中点，AB=4，AD=2，设DE=x，
①求点M到FC的距离（用含x的代数式表示）；
②连接BM，设BM²=y，求y与x之间的函数关系式，并直接写出BM的长度的最小值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据矩形的性质可得∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，再求出∠ABF=∠D=90°，根据同角的余角相等求出∠DAE=∠BAF，然后根据两组角对应相等的两个三角形相似证明；
（2）①取FC的中点H，连接MH，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MH∥DC，MH=

1

2

EC，然后表示出EC，即可得解；
②根据相似三角形对应边成比例列式求出BF，再表示出FH，BH，然后利用勾股定理列式整理即可得到y与x的关系式，再根据二次函数的最值问题解答．

解答：（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，
∴∠ABF=∠D=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=∠BAF+∠EAB=90°，
∵∠DAE+∠EAB=∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAF，
又∵∠D=∠ABF=90°，
∴△ADE∽△ABF；

（2）解：①如图，取FC的中点H，连接MH，
∵M为EF的中点，
∴MH∥DC，MH=

1

2

EC，
∵在矩形ABCD中，∠C=90°，
∴MH⊥FC，即MH是点M到FC的距离，
∵DE=x，DC=AB=4，
∴EC=4-x，
∴MH=

1

2

EC=2-

1

2

x，
即点M到FC的距离为MH=2-

1

2

x；
②∵△ADE∽△ABF，
∴

DE

AD

=

BF

AB

，
∴

x

2

=

BF

4

，
∴BF=2x，FC=2+2x，FH=CH=1+x，
∴BH=|BF-HF|=|x-1|，
∵MH=2-

1

2

x，
∴在Rt△MHB中，BM²=BH²+MH²=（2-

1

2

x）²+（x-1）²=

5

4

x²-4x+5，
∴y=

5

4

x²-4x+5（0＜x＜4）
∵y=

5

4

x²-4x+5=

5

4

（x²-

16

5

x+

64

25

）+5-

16

5

=

5

4

（x-

8

5

）²+

9

5

，
当x=

8

5

时，BM²有最小值

9

5

，
此时，BM的最小值是

3 5

5

．

点评：本题是相似形综合题，主要利用了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，二次函数的最值问题，难点在于（2）作辅助线构造出三角形的中位线．