Question

15．如图，△ABC的三条角平分线AD、BE、CF交于点O．
（1）试判断∠AOE和∠1之间的关系，并写出推理过程．
（2）过点O作BC的垂线段，交BC于点H，求证：∠BOD=∠COH．

Answer 1

分析 （1）利用角平分线的定义，得出∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠3=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠1=$\frac{1}{2}$∠ACB，再根据∠AOE是△AOB的外角，得出∠AOE=∠2+∠3，据此进行计算，即可得出AOE+∠1=90°；
（2）利用三角形的内角和定理，以及角平分线的定义，用∠ACB表示出∠AOE，则∠BOD即可得到，然后在直角△OCH中，利用直角三角形的两个内角互余以及角平分线的定义，即可利用∠ACB表示出∠COH，从而证得结论．

解答 解：（1）∠AOE和∠1之间的关系：∠AOE+∠1=90°．
理由：∵AD、BE、CF都是△ABC的角平分线，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠3=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠1=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠AOE是△AOB的外角，
∴∠AOE=∠2+∠3
=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC
=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）
=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）
=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB
=90°-∠1，
∴∠AOE+∠1=90°；

（2）证明：过点O作BC的垂线段，交BC于点H，
∵∠AEO=∠EBC+∠ACB=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠ACB，
∴∠AOE=180°-（∠DAC+∠AEO）
=180°-[$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC+∠ACB]
=180°-[$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC）+∠ACB]
=180°-[$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）+∠ACB]
=180°-[90°+$\frac{1}{2}$∠ACB]
=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOD=∠AOE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
又∵在Rt△OCH中，∠COH=90°-∠OCD=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOD=∠COH．

点评 本题主要考查了角平分线的定义，三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，解题时注意运用：三角形内角和是180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．