Question

4．如图，已知圆O的面积为3π，AB为圆O的直径，∠AOC=80°，∠BOD=20°，点P为直径AB上任意一点，则PC+PD的最小值是3．

Answer 1

分析 先设圆O的半径为r，由圆O的面积为3π求出r的值，再作点C关于AB的对称点C′，连接OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，由轴对称的性质得出∠AOC′的度数，故可得出∠BOC′的度数，再由锐角三角函数的定义即可得出DC′的长．

解答 解：设圆O的半径为r，
∵⊙O的面积为3π，
∴3π=πr²，即r=$\sqrt{3}$．
作点C关于AB的对称点C′，连接OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，
∵∠AOC=80°，
∴∠AOC=∠AOC′=80°，
∴∠BOC′=100°，
∵∠BOD=20°，
∴∠DOC′=∠BOC′+∠BOD=100°+20°=120°，
∵OC′=OD，
∴∠ODC′=30°
∴DC′=2OD•cos30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，即PC+PD的最小值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查的是圆周角定理及轴对称-最短路线问题，根据题意作出点C关于直线AB的对称点是解答此题的关键．