Question

5．在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC=90°．M为BC的中点，则PM的最小值为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH=CE=4，由△AHB∽△CEA，得$\frac{AH}{EC}$=$\frac{BH}{AE}$，推出$\frac{2}{4}$=$\frac{BH}{AE}$，推出AE=2BH，设BH=x则AE=2x，推出B（0，4-x），C（2+2x，0），由BM=CM，推出M（1+x，$\frac{4-x}{2}$），可得PM=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{4-x}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}（x-\frac{4}{5}）^{2}+\frac{16}{5}}$，由此即可解决问题．

解答 解：如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH=CE=4，

∵∠BAC=∠AHB=∠AEC=90°，
∴∠ABH+∠HAB=90°，∠HAB+∠EAC=90°，
∴∠ABH=∠EAC，
∴△AHB∽△CEA，
∴$\frac{AH}{EC}$=$\frac{BH}{AE}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{BH}{AE}$，
∴AE=2BH，设BH=x则AE=2x，
∴OC=HE=2+2x，OB=4-x，
∴B（0，4-x），C（2+2x，0）
∵BM=CM，
∴M（1+x，$\frac{4-x}{2}$），∵P（1，0），
∴PM=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{4-x}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}（x-\frac{4}{5}）^{2}+\frac{16}{5}}$，
∴x=$\frac{4}{5}$时，PM有最小值，最小值为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
故答案为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．