题目内容
4．
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts（0＜t＜6），试尝试探究下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）求证：四边形PBQD面积为定值；
（3）当t为何值时，△PDQ是等腰三角形．写出探索过程；
（4）当t为何值时，△PDQ是直角三角形，只需求出t的值．
分析 （1）根据题意表示出AP，BQ，再由AB-AP表示出PB，进而表示出三角形PBQ面积，根据已知面积求t的值即可；
（2）四边形PBOQ面积=矩形ABCD面积-△APD面积-△CQD面积，化简得到结果为常数，即可得证；
（3）分三种情况考虑：当DP=DQ；DP=PQ；DQ=PQ，利用勾股定理求出相应t的值即可；
（4）若△PDQ是直角三角形，分三种情况考虑：当∠PQD=90°时；当∠PDQ=90°时；当∠DPQ=90°时，分别利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果．
解答 （1）解：由题意得：AP=t，BQ=2t，则有PB=AB-AP=6-t，
可得△PBQ的面积S=$\frac{1}{2}$PB•BQ=$\frac{1}{2}$×（6-t）×2t=8，
解得：t=2或t=4，
则当t=2或t=4时，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）证明：∵S四边形PBQD=6×12-$\frac{1}{2}$•t•12-$\frac{1}{2}$（12-2t）•6=36，
∴四边形PBQD的面积始终等于36，为定值；
（3）解：分三种情况考虑：
当DP=DQ时，由题意得：122+t2=62+（12-2t）2，
解得：t1=8+2$\sqrt{13}$（舍去），t2=8-2$\sqrt{13}$；
当DP=PQ时，由题意得122+t2=（6-t）2+（2t）2，
解得：t1=$\frac{3-3\sqrt{13}}{2}$（舍去），t2=$\frac{3+3\sqrt{13}}{2}$（舍去）；
当DQ=PQ时，由题意得62+（12-2t）2=（6-t）2+（2t）2，
解得：t1=-6$\sqrt{13}$-18（舍去），t2=6$\sqrt{13}$-18，
综上所述，当t为8-2$\sqrt{13}$或6$\sqrt{13}$-18时，△PDQ是等腰三角形；
（4）若△PDQ是直角三角形，分三种情况考虑：
当∠PQD=90°时，则有PD2=PQ2+DQ2，即122+t2=（6-t）2+（2t）2+62+（12-2t）2，
整理得：2t2-15t+18=0，即（2t-3）（t-6）=0，
解得：t=$\frac{3}{2}$或t=6（舍去）；
当∠PDQ=90°时，PQ2=PD2+DQ2，即（6-t）2+（2t）2=122+t2+62+（12-2t）2，
整理得：36t=288，
解得：t=8（舍去）；
当∠DPQ=90°时，DQ2=PQ2+PD2，即62+（12-2t）2=（6-t）2+（2t）2+122+t2，
整理得：t（t+18）=0，
解得：t=0（舍去）或t=-18（舍去），
综上，当t=$\frac{3}{2}$时，△PDQ是直角三角形．
点评 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：三角形、四边形的面积，勾股定理，等腰三角形、直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
如图，数轴上有A、B、C、O四点，点O是原点，BC=$\frac{1}{3}$AB=8，OB比AO的$\frac{1}{4}$少1．| 数量范围（千克） | 0～500 | 500以上～1500 | 1500以上～2500 | 2500以上 |
| 价格（元） | 零售价的95% | 零售价的85% | 零售价的75% | 零售价的70% |
（1）如果他批发600千克苹果，则他在A家批发需要3312元，在B家批发需要3360元；
（2）如果他批发x千克苹果（1500＜x＜2000），则他在A家批发需要5.4x元，在B家批发需要4.5x-1200元（用含x的代数式表示）；
（3）现在他要批发1800千克苹果，你能帮助他选择在哪家批发更优惠吗？请说明理由．