Question

已知关于x的方程x²+2（a-1）x+a²-7a-4=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x₁、x₂，且满足x₁²+x₂²=32，求a的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根，得出△＞0，再列出不等式进行求解即可；
（2）根据跟与系数的关系先求出x₁+x₂和x₁•x₂的值，再根据（x₁+x₂）²=x₁²+x₂²+2x₁•x₂，列式计算即可．

解答：解：（1）△=[2（a-1）]²-4（a²-7a-4）=20a+20，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴20a+20＞0，
∴a＞-1；

（2）由题意得：x₁+x₂=-2（a-1），x₁•x₂=a²-7a-4，
∵（x₁+x₂）²=x₁²+x₂²+2x₁•x₂，
∴[-2（a-1）]²=32+2（a²-7a-4），
∴a²+3a-10=0，
解得：a=2或-5，
∵a≥-1，
∴a=2．

点评：此题考查了根的判别式和跟与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．