Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+$\frac{1}{4}$与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称
（1）填空：点B的坐标是（0，$\frac{1}{2}$）；
（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线解析式可求得A点坐标，再利用对称可求得B点坐标；
（2）可先用k表示出C点坐标，过B作BD⊥l于点D，条件可知P点在x轴上方，设P点纵坐标为y，可表示出PD、PB的长，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，则可求出PB的长，此时可得出P点坐标，代入抛物线解析式可判断P点在抛物线上；
（3）利用平行线和轴对称的性质可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，则可求得OC的长，代入抛物线解析式可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵抛物线y=x²+$\frac{1}{4}$与y轴相交于点A，
∴A（0，$\frac{1}{4}$），
∵点B与点O关于点A对称，
∴BA=OA=$\frac{1}{4}$，
∴OB=$\frac{1}{2}$，即B点坐标为（0，$\frac{1}{2}$），
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$）；
（2）∵B点坐标为（0，$\frac{1}{2}$），
∴直线解析式为y=kx+$\frac{1}{2}$，令y=0可得kx+$\frac{1}{2}$=0，解得x=-$\frac{1}{2k}$，
∴OC=-$\frac{1}{2k}$，
∵PB=PC，
∴点P只能在x轴上方，
如图1，过B作BD⊥l于点D，设PB=PC=m，

则BD=OC=-$\frac{1}{2k}$，CD=OB=$\frac{1}{2}$，
∴PD=PC-CD=m-$\frac{1}{2}$，
在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB²=PD²+BD²，
即m²=（m-$\frac{1}{2}$）²+（-$\frac{1}{2k}$）²，解得m=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$，
∴PC=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$，
∴P点坐标为（-$\frac{1}{2k}$，$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$），
当x=-$\frac{1}{2k}$时，代入抛物线解析式可得y=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$，
∴点P在抛物线上；
（3）如图2，连接CC′，

∵l∥y轴，
∴∠OBC=∠PCB，
又PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC，
∴∠PBC=∠OBC，
又C、C′关于BP对称，且C′在抛物线的对称轴上，即在y轴上，
∴∠PBC=∠PBC′，
∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，
在Rt△OBC中，OB=$\frac{1}{2}$，则BC=1
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即P点的横坐标为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入抛物线解析式可得y=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+$\frac{1}{4}$=1，
∴P点坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有轴对称的性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、二次函数的性质等．在（2）中构造直角三角形，利用勾股定理得到关于PC的长的方程是解题的关键，在（3）中求得∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．