Question

8．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，AD∥BC，且∠DCA=∠B，连接OD．
（1）求证：DC与⊙O相切；
（2）若sinB=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，OD=3$\sqrt{6}$，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）首先连接OC，AB是⊙O的直径，易证得∠1+∠B=90°，又由OA=OC，则可证得∠1=∠2，由∠B=∠DCA，从而求得∠2+∠DCA=90°；
（2）由AD∥BC，AB是⊙O的直径，易证得△ABC∽△DCA，则可得$\frac{AD}{DC}$=$\frac{AC}{AB}$，由sinB=$\frac{\sqrt{5}}{3}$可得：AC=$\sqrt{5}$k，AB=3k，则BC=2k，继而表示出DC的长，然后由勾股定理，可得（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$k）²+（$\frac{3}{2}$k）²=（3$\sqrt{6}$）²，则可求得答案．

解答 （1）证明：连结OC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠1+∠B=90°，
又∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠B=90°，
∵∠DCA=∠B，
∴∠DCA+∠2=90°，
即OC⊥DC，
∴DC与⊙O相切；

（2）解：∵AD∥BC，AB是⊙O的直径，
∴∠DAC=∠ACB=90°，
∵∠B=∠DCA，
∴△ABC∽△DCA，
∴$\frac{AD}{DC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∵sinB=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
设AC=$\sqrt{5}$k，AB=3k，则BC=2k，
∵∠B=∠DCA，
∴cos∠DCA=$\frac{AC}{DC}$=cos∠B=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2k}{3k}$=$\frac{2}{3}$
∴DC=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$k，
在△ODC中，OD=3$\sqrt{6}$，OC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$k，
∴（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$k）²+（$\frac{3}{2}$k）²=（3$\sqrt{6}$）²，
∴解得：k=2，
∴⊙O的半径长为3．

点评 此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．