Question

12．已知菱形ABCD，AB=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，点F为边AD上一点，以EF为折痕将四边形ABEF折叠得到四边形A′B′EF．
（1）连接AE，则∠EAF=90°．
（2）若射线FA′交边CD于点H，当△DFH为直角三角形时，DF=5-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）连接AE、AC，根据等边三角形的性质和等腰三角形的三线合一解答；
（2）连接EA、EA′，作CG⊥FH于G，设DH=x，根据直角三角形的性质用x表示出FD、AF、根据矩形的性质以及翻转变换的性质解答即可．

解答 解：（1）连接AE、AC，
∵BA=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，又E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵AD∥BC，
∴∠EAF=90°，
故答案为：90°；
（2）连接EA、EA′，作CG⊥FH于G，
∵∠DHF=90°，∠D=60°，
∴∠DFH=30°，
设DH=x，则FD=2x，AF=2-2x，
由翻转变换的性质可知，A′F=AF=2-2x，
由勾股定理得，FH=$\sqrt{3}$x，则A′H=（$\sqrt{3}$+2）x-2，
∵∠DFH=30°，
∴∠AFH=150°，
∴∠AEA′=30°，
∴∠GEC=60°，
∴∠ECG=30°，又EC=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴CG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵四边形CGA′H是矩形，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=（$\sqrt{3}$+2）x-2，
解得，x=$\frac{5}{2}$-$\sqrt{3}$，
则DF=2x=5-2$\sqrt{3}$．
故答案为：5-2$\sqrt{3}$．

点评 本考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．