Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，若沿BD折叠梯形ABCD，点A恰好与边DC上的点E重合．
（1）判断四边形ABED是什么特殊四边形？证明你的结论；
（2）若点E是DC边的中点，求∠DBC的度数．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,梯形

专题：

分析：（1）根据翻折变换的性质可得∠ABD=∠EBD，AB=BE，AD=DE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ABD=∠BDE，然后求出∠EBD=∠BDE，根据等角对等边可得BE=DE，从而得到AB=BE=DE=AD，再根据四条边都相等的四边形是菱形解答；
（2）求出BE=CE，根据等边对等角可得∠C=∠CBE，然后利用三角形的内角和定理求出∠EBD+∠CBE=90°．

解答：解：（1）四边形ABED菱形．
证明如下：∵沿BD折叠梯形ABCD，点A恰好与边DC上的点E重合，
∴∠ABD=∠EBD，AB=BE，AD=DE，
∵AB∥DC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠EBD=∠BDE，
∴BE=DE，
∴AB=BE=DE=AD，
∴四边形ABED菱形；

（2）∵点E是DC边的中点，
∴DE=CE，
∵BE=DE，
∴BE=CE，
∴∠C=∠CBE，
又∵在△BCD中，∠EBD=∠BDE，
∴∠EBD+∠CBE=90°，
即∠BDC=90°．

点评：本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，菱形的判定与性质，等角对等边的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质并求出四边形ABED四条边都相等是解题的关键．