Question

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①a+b=0；②a-b+c＞0；③当m≠1时，a+b＞am²+bm；④3a+c＞0；⑤若ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，且x₁≠x₂，x₁+x₂=2．其中正确的有

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1得到2a+b=0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（-1，0）之间，则x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，可对②进行判断；根据二次函数的最大值对③进行判断；利用a-b+c＜0，b=-2a得到3a+c＜0，可对④进行判断；把ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂移项后分解因式得到（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0，则a（x₁+x₂）+b=0，可计算出x₁+x₂=2，于是可对⑤进行判断．

解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1，
∴2a+b=0，所以①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（2，0）和（3，0）之间，
而对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（-1，0）之间，
∴x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，所以②错误；
∵x=1时，y有最大值，
∴a+b+c＞am²+bm+c（m≠1），
即a+b＞am²+bm（m≠1），所以③正确；
∵a-b+c＜0，b=-2a，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④错误；
∵ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，
∴ax₁²-ax₂²+bx₁-bx₂=0，（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0，
而x₁≠x₂，
∴a（x₁+x₂）+b=0，
∴x₁+x₂=-

b

a

=-

-2a

a

=2，所以⑤正确．
故答案为③⑤．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．