题目内容
8．如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，BC，求tan∠CAO的值；
（3）动点E以每秒1个单位长度的速度沿A→B方向匀速运动，过点E作EF∥y轴，设点E运动时间为t（0≤t≤6）秒，运动过程中直线EF在△ABC中所扫过的面积为S，求S与t的函数关系式；
（4）若点M，N在线段BC上，点Q，P在第一象限的抛物线上，且四边形MNQP是正方形，求点M的坐标．
分析 （1）利用待定系数法求出二次函数解析式；
（2）根据解析式求出A点坐标，在直角三角形AOC在可以求得tan∠CAO的值；
（3）根据点E的运动规律分类讨论得出S与t的函数关系式；
（4）先证得MQ∥OB，可得出直线BC解析式为y=-x+4，再根据正方形的性质得出MQ=PN，求出M坐标即可．
解答 解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c过点B（4，0），C（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+4$．
（2）令y=0，则-$\frac{1}{2}$x2+x+4=0解得：x1=-2，x2=4，
∴A（-2，0），即OA=2，OC=4．
∴tan∠CAO=$\frac{OC}{OA}=\frac{4}{2}$=2．
（3）当0≤t≤2时，设EF交AC于D，
∵EF∥y轴，
∴△ADE∽△ACO．
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{AO}{OC}$即$\frac{t}{DE}=\frac{2}{4}$．
∴DE=2t．
∴S=$\frac{1}{2}$AE•DE=$\frac{1}{2}$•t•2t=t2
即S=t2（0≤t≤2），
当2＜t≤6时，设EF交BC于G，
∵EF∥y轴，
∴△BGE∽△BCO．
∴$\frac{EG}{EB}=\frac{OC}{OB}$即$\frac{EG}{6-t}=\frac{4}{4}$．
∴FG=6-4．
∴S=S△ABC-S△BGF．
=$\frac{1}{2}$×6×4-$\frac{1}{2}$•（6-t）•（6-t）
=$\frac{1}{2}$t2+6t-6，
即S=-$\frac{1}{2}$t2+6t-6（2＜t≤6），
综上所述，S与t的函数关系式为：$S=\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}（0≤t≤2）}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}+6t-6（2＜t≤6）}\end{array}\right.$．
（4）连接MQ、PN交于点I，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°．
∵正方形MNQP，
∴PN⊥MQ，∠NMQ=45°．
∴∠NMQ=∠OBC．
∴MQ∥OB．
∴PN⊥OB．
∴直线BC解析式为y=-x+4．
设Q（m，-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+m+4）令-x+4=-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+m+4，
得x=$\frac{1}{2}{m}^{2}$-m．
∴M（$\frac{1}{2}{m}^{2}$-m，-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+m+4．
∴I（$\frac{1}{4}{m}^{2}$，-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+m+4），MQ=m-（$\frac{1}{2}{m}^{2}$-m）=2m-$\frac{1}{2}{m}^{2}$．
∴${y}_{N}=-\frac{1}{4}{m}^{2}$+4，${y}_{N}=-\frac{1}{4}{m}^{2}+4$，${y}_{P}=-\frac{1}{2}（\frac{1}{4}{m}^{2}）^{2}+\frac{1}{4}{m}^{2}+4=-\frac{1}{32}{m}^{4}+\frac{1}{4}{m}^{2}+4$．
∴$PN=-\frac{1}{32}{m}^{4}+\frac{1}{4}{m}^{2}+4-（-\frac{1}{4}{m}^{2}+4）=-\frac{1}{32}{m}^{4}+\frac{1}{2}{m}^{2}$．
∵正方形MNQP，
∴MQ=PN．
∴2m-$\frac{1}{2}{m}^{2}$=-$\frac{1}{32}{m}^{4}+\frac{1}{2}{m}^{2}$．
∵m≠0，
∴$2-\frac{1}{2}m=-\frac{1}{32}{m}^{3}+\frac{1}{2}m$
整理得：64-16m=-m3+16m
16（4-m）=m（4+m）（4-m）．
∵4-m≠0，
∴m（4+m）=16．
∴m2+4m-16=0．
解得m1=-2-$2\sqrt{5}$（舍去）m2=-2+$2\sqrt{5}$．
∴$\frac{1}{2}{m}^{2}$-m=14-$6\sqrt{5}$，-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+m+4=$6\sqrt{5}$-10．
M（14-$6\sqrt{5}$，$6\sqrt{5}$-10）．
点评 本题考查的是二次函数点的综合应用．待定系数法求二次函数解析式是常见的题型，动点问题的解决关键是找出动点的运动规律，将规律用相应的量表示出来．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
设函数y1=（x-k）2+k和y2=（x+k）2-k的图象相交于点A，函数y1，y2的图象的顶点分别为B和C．
如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别在AC、BC上且DE∥AB，将△ABC沿DE折叠，使C点落在斜边AB上的F处，则AF的长是（ ）
如图，将抛物线M1：y=ax2+4x向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M2，直线y=x与M1的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是-3．
