Question

7．已知x，y都是实数，且$\sqrt{8-2（x+3）}$与（2y-4）²互为相反数．
（1）求x，y的值，并写出x，y为边长的等腰三角形的周长；
（2）求$\frac{1}{x（y+1）}$+$\frac{1}{（x+2）（y+3）}$+$\frac{1}{（x+4）（y+5）}$+…+$\frac{1}{（x+48）（y+49）}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根据互为相反数的两个数的和为0，得$\sqrt{8-2（x+3）}$+（2y-4）²=0，再根据非负数的意义，列方程组求出x、y的值；然后由等腰三角形的性质求出其周长；
（2）先将x=1，y=2代入所求代数式，再根据$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）把每一个分数写成两个分数的差，然后化简即可．

解答 解：（1）依题意，得$\sqrt{8-2（x+3）}$+（2y-4）²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{8-2（x+3）=0}\\{2y-4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$．
当腰长为1时，不满足三角形三边关系定理，故腰长为2，此时，周长=2+2+1=5；

（2）∵x=1，y=2，
∴原式=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{49×51}$
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{49}$-$\frac{1}{51}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{51}$）
=$\frac{25}{51}$．

点评 本题考查了相反数的定义，非负数的性质，二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，三角形三边关系定理及有理数的运算，涉及的知识点较多，难度中等．