Question

12．如图，已知AC∥BF
（1）如图1，AH平分∠CAE．BH平分∠EBF，求证：2∠AHB+∠E=360°；
（2）如图2．∠CAH=$\frac{1}{3}$∠CAE，∠EBH=$\frac{2}{3}$∠FBE，直接写出∠H与∠E的数量关系∠AEB=3∠AHB；
（3）在（2）的条件下．如图3，∠CAE=55°，∠FBE=80°．HA平分∠NHM，HB平分∠NHI，K是FI的中点，BK=$\frac{1}{2}$MF，S_△BHM=5，HI=2，求点B到HM的距离．

Answer 1

分析 （1）作HG∥AC，则AC∥HG∥BF，由平行线的性质得出∠1=∠3，∠4=∠5，再由角平分线和四边形内角和即可得出结论；
（2）作EM∥AC，HN∥AC，设∠CAH=x，∠FBH=y，则∠CAE=3x．∠FBE=3y，同（1）得：∠AEB=3x+3y，∠AHB=x+y，即可得出结论；
（3）先证出BI=BM，得出S_△BIH=S_△BHM=5，同（1）得：∠AEB=∠CAE+∠FBE=135°，得出∠AHB=$\frac{1}{3}$∠AEB=45°，再由角平分线和角的关系证出∠MHI=90°，由三角形面积求出MH=10，作BD⊥MH于D，再由三角形面积求出BD=1即可．

解答 （1）证明：作HG∥AC，如图1所示：
∵AC∥BF，
∴AC∥HG∥BF，
∴∠1=∠3，∠4=∠5，
∴∠AHB=∠1+∠5，
∵AH平分∠CAE．BH平分∠EBF，
∴∠1=∠2，∠5=∠6，
∴∠AHB=∠2+∠6，
∵，在四边形AHBE中，∠AHB+∠2+∠6+∠E=360°，
∴2∠AHB+∠E=360°；
（2）解：∠AEB=3∠AHB，理由如下：
作EM∥AC，HN∥AC，如图2所示：
设∠CAH=x，∠FBH=y，
∵∠CAH=$\frac{1}{3}$∠CAE，∠EBH=$\frac{2}{3}$∠FBE，
∴∠CAE=3x．∠FBE=3y，
同（1）得：∠AEB=3x+3y，∠AHB=x+y，
∴∠AEB=3∠AHB；
故答案为：∠AEB=3∠AHB；
（3）解：∵K是FI的中点，BK=$\frac{1}{2}$MF，
∴BI=BM，
∴S_△BIH=S_△BHM=5，
同（1）得：∠AEB=∠CAE+∠FBE=55°+80°=135°，
∴∠AHB=$\frac{1}{3}$∠AEB=45°，
∵HA平分∠NHM，HB平分∠NHI，
∴∠AHN=∠AHM，
∴∠BHN=∠BHI，
设∠AHN=∠AHM=x，∠BHN=∠AHI=y，则x+y=45°，
∴∠MHI=2x+y+y=90°，
∴△MHI的面积=$\frac{1}{2}$×HI×MH=2×5=10，
∴HI×MH=20，
∵HI=2，
∴MH=10，
作BD⊥MH于D，如图3所示：
则$\frac{1}{2}$MH•BD=5，
∴MH•BD=10，
∴BD=1，
即点B到HM的距离为1．

点评 本题是三角形综合题目，考查了平行线的性质、角平分线的定义、四边形内角和定理、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，证明∠MHI=90°是解决问题的关键．