Question

9．已知⊙O的半径是10，它的内接梯形ABCD的上底AB=12，下底CD=16，求梯形的面积．

Answer 1

分析 梯形的高就是弦AB与CD之间的距离，根据垂径定理求得两弦的弦心距，当CD与AB在圆心的同侧时，梯形的高等于两弦心距的差，当CD与AB在圆心的两侧时，梯形的高等于两弦心距的和，根据梯形的面积公式即可求解．

解答 解：过O作OE⊥CD于E，交AB于F．连接OA，OC．
在直角△OCE中，CE=$\frac{1}{2}$CD=6，OC=10．
∴OE=$\sqrt{O{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8；
同理，在直角△AOF中，AF=$\frac{1}{2}$AB=8．
∴OF=$\sqrt{O{A}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6．
①如图1，当CD与AB在圆心的同侧时，
则梯形的高EF=OE-OF=8-6=2．
则梯形的面积是：$\frac{1}{2}$（CD+AB）•EF=$\frac{1}{2}$×（12+16）×2=28；
②如图2，当CD与AB在圆心的同侧时，
则梯形的高EF=OE+OF=8+6=14．
则梯形的面积是：$\frac{1}{2}$（CD+AB）•EF=$\frac{1}{2}$×（12+16）×14=196；
综上：梯形的面积为28或196

点评 本题考查了垂径定理，注意到分两种情况进行讨论，求得梯形的高是关键．