Question

观察下列各式的化简过程：

1

2 -1

=

2

+1①，

1

3 - 2

=

3

+

2

②，

1

4 - 3

=

4

+

3

③，
…

1

2002 - 2001

=

2002

+

2001

，

1

2003 - 2002

=

2003

+

2002

．
（1）写出①式具体的化简过程．
（2）从上面的式子中，你发现了什么规律？
（3）利用上面的规律，试计算：

1

2 -1

-

1

3 - 2

+

1

4 - 3

-…+

1

400 - 399

的值．

Answer 1

分析：（1）把

1

2 -1

变成

1×( 2 +1)

( 2 -1)×( 2 +1)

，求出即可；
（2）

1

n+1 - n

=

n+1

+

n

；
（3）把

1

2 -1

-

1

3 - 2

+

1

4 - 3

-…+

1

400 - 399

变成

2

+1-（

3

+

2

）+（

4

+

3

）-（

5

+

4

）-…+

400

+

399

，去括号后合并即可．

解答：解：（1）

1

2 -1

=

1×( 2 +1)

( 2 -1)×( 2 +1)

=

2 +1

2-1

=

2

+1；

（2）

1

n+1 - n

=

n+1

+

n

；

（3）

1

2 -1

-

1

3 - 2

+

1

4 - 3

-…+

1

400 - 399

=

2

+1-（

3

+

2

）+（

4

+

3

）-（

5

+

4

）-…+

400

+

399

=1+

400

=1+20
=21．

点评：本题考查了分母有理化的应用，关键是能根据题意得出规律．