Question

10．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x²-2x+n-1与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）当△OAB是等腰直角三角形时，求n的值；
（2）点C的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC有且只有一个公共点，结合函数的图象求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求得点B的坐标，再根据△OAB是等腰直角三角形得出点A的坐标，代入求得n即可；
（2）分两种情况：抛物线的顶点在x轴上和抛物线的顶点在x轴下方两种情况求解可得．

解答 解：（1）二次函数的对称轴是x=-$\frac{-2}{2}$=1，则B的坐标是（1，0），
当△OAB是等腰直角三角形时，OA=OB=1，
则A的坐标是（0，1）或（0，-1）．
抛物线y=x²-2x+n-1与y轴交于点A的坐标是（0，n-1）．
则n-1=1或n-1=-1，解得n=2或n=0；

（2）①当抛物线的顶点在x轴上时，△=（-2）²-4（n-1）=0，
解得：n=2；
②当抛物线的顶点在x轴下方时，
如图，

由图可知当x=0时，y＜0；当x=3时，y≥0，
即$\left\{\begin{array}{l}{n-1＜0}\\{9-6+n-1≥0}\end{array}\right.$，
解得：-2≤n＜1，
综上，-2≤n＜1或n=2．

点评 本题考查了二次函数的图象和等腰直角三角形的性质，明确等腰直角三角形中两条边相等，解题的关键是根据抛物线与线段OC有且只有一个公共点得出x=0时y＜0；x=3时，y≥0的结论．