Question

20．已知关于x的一元二次方程x²-2（1-m）x+m²=0的两实数根为x₁，x₂
（1）求m的取值范围；
（2）设y=x₁+x₂，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系找出y关于m的函数关系式，根据一次函数的性质即可解决最值问题．

解答 解：（1）∵方程x²-2（1-m）x+m²=0有两个实数根，
∴△=[-2（1-m）]²-4×1×m²=4-8m≥0，
解得：m≤$\frac{1}{2}$．
（2）y=x₁+x₂=2（1-m）=-2m+2，
∵-2＜0，
∴当m=$\frac{1}{2}$时，y取最小值，最小值为1．

点评 本题考查了根的判别式以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找出4-8m≥0；（2）根据一次函数的单调性解决最值问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解得情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．