Question

抛物线与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，-3），抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点P，使得S_△PAM=3S_△ACM，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设直线AC的解析式为         把A（-1，0）代入得         ∴直线AC的解析式为         依题意知，点Q的纵坐标是-6         把代入中，解得 ，∴点 Q（1，-6）         ∵点Q在抛物线的对称轴上，∴抛物线的对称轴为直线          设抛物线的解析式为         由题意，得  解得         ∴抛物线的解析式为 （2）如图①，过点C作AC的垂线交抛物线于点D，交x轴于点N，         则 ∴        ∴  ∵，，∴        ∴点N的坐标为（9，0） 可求得直线CN的解析式为     由解得，即点D的坐标为（，） （3）设抛物线的对称轴交x轴于点E，依题意，得        ，，       ∵      且，又  ∴      设P（1，m）      ①当点P在点M上方时，PM=m+4=3，     ∴ ，∴P（1，-1）     ②当点P在点M下方时，PM=-4-m=3， ∴     ∴P（1，-7）    综上所述，点P的坐标为（1，-1），（1，-7）