Question

20．探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，则AB与CD的位置关系平行．
 结论应用：①如图2，点M，N在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．试证明：MN∥EF．
②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置，如图3所示，请判断MN与EF是否平行，并说明理由．

Answer 1

分析 ①连接MF，NE，由反比例函数的解析式与三角形的面积关系得出S_△EFM=$\frac{1}{2}$x₁•y₁=$\frac{1}{2}$k，S_△EFN=$\frac{1}{2}$x₂•y₂=$\frac{1}{2}$k，得出S_△EFM=S_△EFN即可；
②过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F，连接MF、NE；同①得出S_△EFM=S_△EFN，即可得出结论．

解答 ①证明：连接MF，NE，如图1所示：
设点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂），
∵点M，N在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k，
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴OE=y₁，OF=x₂，
∴S_△EFM=$\frac{1}{2}$x₁•y₁=$\frac{1}{2}$k，
S_△EFN=$\frac{1}{2}$x₂•y₂=$\frac{1}{2}$k，
∴S_△EFM=S_△EFN，
∴由探究新知的结论得：MN∥EF；
②解：MN∥EF，理由如下：
过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F，连接MF、NE，如图2所示：
设点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂），
∵点M，N在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=|x₂y₂|=k，
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴OE=y₁，OF=x₂，
∴S_△EFM=$\frac{1}{2}$x₁•y₁=$\frac{1}{2}$k，
S_△EFN=$\frac{1}{2}$|x₂|•|y₂|=$\frac{1}{2}$|x₂y₂|=$\frac{1}{2}$k，
∴S_△EFM=S_△EFN，
∴由探究新知的结论得：MN∥EF．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了反比例函数与几何性质的综合应用；这是一个阅读理解的问题，正确解决①中的证明是解决本题的关键．