Question

2．如图，数轴上线段AB=2，CD=4，点A在数轴上表示的数是-10，点C在数轴上表示的数是16，若线段AB以6个单位/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位/秒的速度向左匀速运动．
（1）问运动多少秒时BC=8？
（2）当运动到BC=8时，点B在数轴上表示的数是4或16
（3）当3≤t＜$\frac{13}{4}$，B点运动到线段CD上时，P是线段AB上一点，是否存在关系式BD-AP=3PC？若存在，求线段PC的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设运动t秒时，BC=8（单位长度），然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可；
（2）由（1）中求出的运动时间即可求出点B在数轴上表示的数；
（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．

解答 解：（1）设运动t秒时，BC=8单位长度，
①当点B在点C的左边时，
由题意得：6t+8+2t=24
解得：t=2（秒）；
②当点B在点C的右边时，
由题意得：6t-8+2t=24
解得：t=4（秒）．

（2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；
当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16；
故答案为：4或16；

（3）当t=3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC，
当PC=1时，BD=AP+3PC，即BD-AP=3PC；
当3≤t＜$\frac{13}{4}$时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，
①点P在线段AC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+2PC=AB-BC+2PC=2-BC+2PC，
当PC=1时，有BD=AP+3PC，即BD-AP=3PC；
点P在线段BC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，
当PC=$\frac{1}{2}$时，有BD=AP+3PC，即BD-AP=3PC；
3°当t=$\frac{13}{4}$时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD-AB=2，AP+3PC=4PC，
当PC=$\frac{1}{2}$时，有BD=AP+3PC，即BD-AP=3PC；
此时，PC=1或$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查两点间的距离，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意对第三问进行分情况讨论，不要漏解．