Question

如图，P为正比例函数y=

3

2

x图象上一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x，y）．
（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标；
（2）请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值范围；
（3）求原点O在圆上时圆心P点的坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程即可解决问题．
（2）根据直线和圆相切时的两个极限位置，借助（1）中的结论，即可解决问题．
（3）根据某点在圆上时，该点到圆心的距离等于圆的半径，列出方程组即可解决问题．

解答：解：（1）设点P的坐标为（λ，μ），
∵P为正比例函数y=

3

2

x图象上一个动点，
∴μ=

3

2

λ； 当点P在直线x=2的左侧与该直线相切时，
∵圆心P到直线x=2的距离等于半径3，
∴2-λ=3，λ=-1，此时μ=-

3

2

；
当点P在直线x=2的右侧与该直线相切时，
∵圆心P到直线x=2的距离等于半径3，
∴λ-2=3，λ=5，此时μ=

15

2

，
∴当点P与直线x=2相切时，点P的坐标为（-1，-

3

2

），（5，

15

2

）．

（2）当-1＜x＜5时，相交；当x＜-1或x＞5时，相离．

（3）当点O在⊙P上时，则PO=3，PO²=9；
∴（λ-0）²+（μ-0）²=9①，而μ=

3

2

λ②，
∴联立①、②并解得：

λ=- 6 13 13 μ=- 9 13 13

，

λ= 6 13 13 μ= 9 13 13

，
∴当原点O在圆上时圆心P点的坐标为（-

6 13

13

，-

9 13

13

），（

6 13

13

，

9 13

13

）．

点评：该题以平面直角坐标系为载体，以考查直线和圆的位置关系为线索，以点的运动为背景构造而成；其中渗透了对运动、变化、发展，相互联系、相互转化等动态观念的考查；解题的关键是抓住图形在运动过程中暂时静止的某一瞬间，动中求静，以静制动．