Question

10．四边形ABCD的四个内角平分线依次交于E，F，G，H四点，这四个点若能构成一个四边形，则该四边形叫做四边形ABCD的特征四边形．
（1）证明下列命题为真：“平行四边形ABCD的特征四边形是矩形”；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断其真假，若是真命题，则予以证明；若不是真命题，请举出反例；
（3）若平行四边形ABCD变成矩形，判断它的特征四边形形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据三个角是90°的四边形是矩形即可证明．
（2）真命题．分别证明AD∥BC，AB∥CD即可．
（3）结论：四边形EFGH是正方形．只要证明DE=AE，DH=AF即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵AF平分∠DAB，BF平分∠ABC，
∴∠FAB+∠FBA=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠ABC）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠F=180°-（∠FAB+∠FBA）=90°，同理可证∠H=90°，∠DEA=∠FEH=90°，
∴四边形EFGH是矩形．

（2）是真命题．
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠F=90°，
∴∠FAB+∠FBA=90°，
∵∠DAB=2∠FAB，∠ABC=2∠FBA，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，同理可证AB∥CD，'∴四边形ABCD是平行四边形．

（3）结论：四边形EFGH是正方形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∵AF平分∠DAB，BF平分∠ABC，
∴∠FAB=∠FBA=45°，
∴FA=FB，同理可证ED=EA，GC=GB，HD=HC，
∵△ABF≌△DCH，
∴AF=DH，∵ED=EA，
∴EF=EH，
∵四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH 是正方形．

点评 本题考查明天与定理、平行四边形的判定和性质．矩形的判定和性质正方形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．