Question

有一个数学活动，其具体操作过程是：   

第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开

（如图1）；

第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.

 

(（图1）                    （图2）                 

请解答以下问题：

（1）如图2，若延长MN交线段BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．

（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？

Answer 1

 解：（1）△BMP是等边三角形.     

          证明：连结AN

             ∵EF垂直平分AB   ∴AN = BN

由折叠知 AB = BN

∴AN = AB = BN   ∴△ABN为等边三角形  

∴∠ABN =60°  ∴∠PBN =30°           

又∵∠ABM =∠NBM =30°，∠BNM =∠A =90°

 ∴∠BPN =60°

∠MBP =∠MBN +∠PBN =60°

∴∠BMP =60°

∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60°

∴△BMP为等边三角形 .  

（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC ≥BP

在Rt△BNP中， BN = BA =a，∠PBN =30°

∴BP =    ∴b≥  ∴a≤b .

∴当a≤b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP.