Question

在Rt△ABC中，∠ACB等于90°，∠ABC等于30°，AC=1，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′，使得点AC′恰好落在斜边AB上，连接BB′．
（1）直接写出旋转角的度数．
（2）说明BC垂直BB′．
（3）求线段BC的长度．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：（1）如图，先利用互余计算出∠BAC=60°，然后根据旋转的性质即可得到旋转角为60°；
（2）根据旋转的性质得∠BAB′=60°，AB=AB′，则可判断△ABB′为等边三角形，所以∠ABB′=60°，于是可计算得到∠CBB′=90°，然后根据垂直的定义得到BC垂直BB′；
（3）连结B′C，如图，在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2AC=2，BC=

3

AC=

3

，再由△ABB′为等边三角形得到BB′=AB=2，然后在Rt△CBB′中根据勾股定理可计算出B′C．

解答：解：（1）如图，∵∠ABC等于30°，
∴∠BAC=60°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′，使得点AC′恰好落在斜边AB上，
∴∠CAC′等于旋转角，
即旋转角为60°；
（2）∵△ABC绕点A逆时针旋转60°至△AB′C′，使得点AC′恰好落在斜边AB上，
∴∠BAB′=60°，AB=AB′，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′=60°，
∴∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，
∴BC垂直BB′；
（3）连结B′C，如图，
在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，AC=1，
∴AB=2AC=2，BC=

3

AC=

3

，
∵△ABB′为等边三角形，
∴BB′=AB=2，
在Rt△CBB′中，B′C=

BC2+B′B2

=

7

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理．