Question

12．已知正比例函数y=x．
（1）画出此函数的图象；
（2）已知点A在此函数的图象上，其横坐标为4，求出点A的坐标，并在图象上标出点A；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用描点法可画出其图象；
（2）把x=4代入解析式可求得A点坐标，可找出A点位置；
（3）设P（x，0），则可表示出AP、OP和OA的长，分AP=OP、AP=OA和OP=OA三种情况，分别得到关于x的方程，可求得x的值，则可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵正比例函数y=x过原点，且当x=1时y=1，
∴其函数图象如图所示；
（2）在y=x中，当x=4时可得y=4，
∴A（4，4），如图；
（3）设P（x，0），
则AP=$\sqrt{（4-x）^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-8x+32}$，OP=|x|，OA=4$\sqrt{2}$，
∵△AOP为等腰三角形，
∴分AP=OP、AP=OA和OP=OA三种情况，
①当AP=OP时，则$\sqrt{{x}^{2}-8x+32}$=|x|，解得x=4，此时P（4，0）；
②当AP=OA时，则$\sqrt{{x}^{2}-8x+32}$=4$\sqrt{2}$，解得x=0（舍去）或x=8，此进P（8，0）；
③当OP=OA时，则|x|=4$\sqrt{2}$，解得x=±4$\sqrt{2}$，此时P（4$\sqrt{2}$，0）或（-4$\sqrt{2}$，0）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（4，0）或P（8，0）或（4$\sqrt{2}$，0）或（-4$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象的画法、勾股定理、点与图象的关系、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（3）中设出P点坐标，表示出OP、AP的长是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大，较易得分．