Question

15．提出问题：已知△ABC的三边长分别为记a，b，c，且a=n²-16，b=8n，c=n²+16（n＞4），试判断△ABC的形状，并说明理由．
解法展示：因为a²=（n²-16）²=n⁴-32n²+256，b²=（8n）²=64n²，c²=（n²+16）²=n⁴+32n²+256，所以a²+b²=n⁴-32n²+256+64n²=n⁴+32n²+256=c²．所以△ABC是直角三角形．
反思交流：
（1）填空并回答上述解法用到了我们学过的哪些数学知识？写出四点；
（2）若角形的边长分别为2n²+2n，2n+1，2n²+2n+1（n＞0），请问这个三角形是直角三角形吗？说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据积的乘方法则得出（8n）²=64n²，代入利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形；解法中用到的数学知识有：积的乘方法则，等量代换，合并同类项的法则，勾股定理的逆定理；
（2）欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

解答 解：（1）因为a²=（n²-16）²=n⁴-32n²+256，b²=（8n）²=64n²，c²=（n²+16）²=n⁴+32n²+256，所以a²+b²=n⁴-32n²+256+64n²=n⁴+32n²+256=c²．所以△ABC是直角三角形．
解法中用到的数学知识有：积的乘方法则，等量代换，合并同类项的法则，勾股定理的逆定理；

（2）这个三角形是直角三角形．理由如下：
∵三边长为2n²+2n，2n+1，2n²+2n+1（n＞0），
∴（2n²+2n）²=4n⁴+8n³+4n²，
（2n+1）²=4n²+4n+1，
（2n²+2n+1）²=4n⁴+4n²+1+8n³+4n²+4n=4n⁴+8n³+8n²+4n+1，
∴（2n²+2n）²+（2n+1）²=4n⁴+8n³+8n²+4n+1，
∴（2n²+2n）²+（2n+1）²=（2n²+2n+1）²，
故三边长为2n²+2n，2n+1，2n²+2n+1（n＞0）的三角形是直角三角形．
故答案为64n²，64n²，直角．

点评 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．