Question

（1）比较下列各组数的大小，找规律，提出你的猜想：

1

2

＜

1+3

2+3

； 

2

3

＜

2+1

3+1

； 

3

4

＜

3+2

4+2

；　

4

5

＜

4+6

5+6

； 

2

9

＜

2+5

9+5

； 

8

17

＜

 

8+10

17+10

．
从上面的各式发现一个正分数的分子和分母

都加上同一个正数

，所得分数的值比原分数的值要

大

．
猜想：设a＞b＞0，m＞0，则

b

a

＜

b+m

a+m

．
（2）试证明你的猜想：
（3）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”．

Answer 1

分析：（1）将每一个右边的式子计算，两数通分后比较大小，即可判断出前面的数比后面的数小，由此总结得到一个正分数的分子分母都加上同一个正数，所得分数的值比原分数的值要大，利用式子表示出此规律即可；
（2）将所证式子前面的项减去后面的项，利用作差法即可得证；
（3）分别表示出加糖前的含糖率与加糖后的含糖率，利用得出的结论即可判断出加糖后含糖率变大，故糖水更甜了．

解答：解：（1）

1

2

＜

1+3

2+3

； 

2

3

＜

2+1

3+1

； 

3

4

＜

3+2

4+2

；　

4

5

＜

4+6

5+6

； 

2

9

＜

2+5

9+5

； 

8

17

＜

8+10

17+10

，
从上面的各式发现一个正分数的分子和分母都加上同一个正数，所得分数的值比原分数的值要大．
猜想：设a＞b＞0，m＞0，则

b

a

＜

b+m

a+m

；
（2）证明：∵a＞b＞0，m＞0，
∴b-a＜0，a+m＞0，
∴

b

a

-

b+m

a+m

=

b(a+m)-a(b+m)

a(a+m)

=

m(b-a)

a(a+m)

＜0，
则

b

a

＜

b+m

a+m

；
（3）“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”，理由为：
证明：m克糖水里含有n克糖，含糖率为

n

m

，若再加入k克糖，含糖率为

n+k

m+k

，
∵

n

m

＜

n+k

m+k

，
∴加入k克糖后含糖率变大，
则糖水更甜了．
故答案为：（1）＜；＜；＜；＜；＜；＜；都加上同一个正数；大；＜

点评：此题考查了分式的混合运算的应用，属于探究型题，利用了作差法比较两数大小，其中分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母是多项式，应先将多项式分解因式后再约分．