Question

如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点是线段下方的抛物线上一点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．

Answer 1

解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：

则

∴抛物线的解析式为：

（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；

∴OA=1，OC=2，OB=4

∴又OC⊥AB，

∴△OAC∽△OCB

∴∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°

∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径

所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为

（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：

设直线，则该直线的解析式可表示为：，当直线与抛物线只有一个交点时，可列方程：，且△=0则

∴直线：．

由于，长度是定值，则当最大（即点M到直线BC的距离最远）时，的面积最大

所以点M即直线和抛物线的唯一交点，则

解得：

即 M（2，﹣4）．