Question

18．已知：AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：
（1）BC=AD；
（2）AO=BO．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定义得到∠D=∠C=90°，推出Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABD=∠BAC，由等腰三角形的判定即可得到结论．

解答 证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠D=∠C=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BD}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC=AD；

（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABD=∠BAC，
∴AO=BO．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，等腰三角形的判定，证得Rt△ABC≌Rt△BAD是解题的关键．