Question

如图，一把“T型”尺（图1），其中MN⊥OP，将这把“T型”尺放置于矩形ABCD中（其中AB=4，AD=5），使边OP始终经过点A，且保持OA=AB，“T型”尺在绕点A转动的过程中，直线MN交边BC、CD于E、F两点（图2）．
（1）试问线段BE与OE的长度关系如何？并说明理由；
（2）当△CEF是等腰直角三角形时，求线段BE的长；
（3）当BE=1，求线段DF的长．

Answer 1

分析：（1）连接AE，求出∠B=∠AOE=90°，根据HL证△ABE≌△AOE，即可得出答案；
（2）延长AO交BC于点T，得出△OET与△ABT均为等腰直角三角形，由勾股定理求出AT，即可得出答案；
（3）在BC上取点H，使BH=BA=4，过点H作AB的平行线，交EF、AD于点K、L，设HK=a，则在△HEK中，EH=4-1=3，EK=EO+OK=BE+KL=1+4-a=5-a，根据3²+a²=（5-a）²，求出a，即可求出CF，即可得出答案．

解答：解：（1）线段BE与OE的长度相等． 
理由是：连接AE，
∵四边形ABCD是矩形，AO⊥EF，
∴∠B=∠AOE=90°，
在△ABE与△AOE中

AB=AO AE=AE

∴△ABE≌△AOE（HL），
∴BE=OE． 

（2）延长AO交BC于点T，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠C=90°，∠CFE=∠CEF=45°，
∵∠B=∠AOE=90°=∠EOT，
∴∠ETO=180°-90°-45°=45°，
∴∠BAT=45°=∠BTA，
∴BT=AB=4，EO=OT，
即△OET与△ABT均为等腰直角三角形，
∵在△ABT中，AB=4，则AT=4

2

，
∴BE=OE=OT=AT-AO=AT-AB=4

2

-4．

（3）在BC上取点H，使BH=BA=4，过点H作AB的平行线，交EF、AD于点K、L，
即四边形ABHL为正方形，
由（1）可知KL=KO，
令HK=a，则在△HEK中，EH=4-1=3，EK=EO+OK=BE+KL=1+4-a=5-a，
∴3²+a²=（5-a）²，
化简得：a=

8

5

．                      
又∵HL∥AB，
∴

CF

a

=

EC

EH

=

4

3

，
即CF=

32

15

，
∴DF=4-CF=

28

15

．

点评：本题考查了等腰直角三角形性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．