Question

7．函数y=ax²+bx+c（a＞0）
（1）若函数当x=1时，函数有最小值0，且交y轴于点（0，1），定义y′=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥0）}\\{-y（x＜0）}\end{array}\right.$，求当x=2和x=-3时，y′的值．
（2）若a=1，c=0，且当0＜x≤1时，有y≤1恒成立，试求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求得抛物线的解析式为y=（x-1）²=x²-2x+1，得出y′=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+1（x≥0）}\\{-{x}^{2}+2x+1（x＜0）}\end{array}\right.$，把x=2和x=-3代入即可求得；
（2）由题意可知，函数为y=x²+bx，根据y≤1恒成立得出x²+bx≤1，即b≤$\frac{1}{x}$-x，因为0＜x≤1时，y=$\frac{1}{x}$-x的最小值为0，即可求得b的取值范围．

解答 解：（1）∵函数y=ax²+bx+c（a＞0）当x=1时，函数有最小值0，
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）²，
∵函数图象交y轴于点（0，1），
∴1=a（0-1）²，
∴a=1，
∴y=（x-1）²=x²-2x+1；
∴y′=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+1（x≥0）}\\{-{x}^{2}+2x+1（x＜0）}\end{array}\right.$，
∴当x=2时，y′=（x-1）²=1；
当x=-3时，y′=-（x-1）²=-16；
（2）由题意可知，函数为y=x²+bx，
∵当0＜x≤1时，有y≤1恒成立，
∴x²+bx≤1，
∴b≤$\frac{1}{x}$-x，
∵当0＜x≤1时，y=$\frac{1}{x}$-x的最小值为0，
∴b≤0．

点评 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，函数的恒等问题，根据题意得出b≤$\frac{1}{x}$-x，是解题的关键．