Question

11．已知，如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC=$\frac{1}{2}$OB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形，即可判断∠OAB=90°，即可解决问题．
（2）只要证明∠DOA=90°，利用勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：如图连接OA．
∵AC=$\frac{1}{2}$OB，OC=CB，
∴AC=OC=CB，
∴∠OAB=90°，
∴AB是⊙O的切线．

（2）解：连接OD．
∵∠DAO=2∠DCA，∠DCA=45°，
∴∠DOA=90°，∵OD=OA=OC=2，
∴AD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．