Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB、BD为邻边作?ABDE，连接AD、EC．
（1）试说明：△ADC≌△ECD；　
（2）若BD=CD，试说明：四边形ADCE是矩形．

Answer 1

分析 （1）利用等边对等角以及平行四边形的性质可以证得∠EDC=∠ACB，则易证△ADC≌△ECD，利用全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）根据平行四边形性质推出AE=BD=CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC=DE推出即可．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
又∵?ABDE中，AB=DE，AB∥DE，
∴∠B=∠EDC=∠ACB，AC=DE，
在△ADC和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DE}\\{∠EDC=∠ACB}\\{DC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ECD（SAS）．

（2）解：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AE∥BC，
∵D为边长中点，
∴BD=CD，
∴AE=CD，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵△ADC≌△ECD，
∴AC=DE，
∴四边形ADCE是矩形．

点评 本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的判定的应用，证明两线段相等常用的方法就是转化为证两三角形全等．