Question

12．如图，已知直线AB：y=kx+2k+2与抛物线y=x²交于点A、B，当∠AOB＞90°，则k的取值范围为k＜-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 将y=kx+2k+2代入y=x²，得x²-kx-2k-2=0，根据二次函数图象上点的坐标特征以及根与系数的关系得出y₁=x₁²，y₂=x₂²，x₁•x₂=-2k-2，那么y₁•y₂=4k²+8k+4当∠AOB=90°时，如图1，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．证明△AOM∽△OBN，根据相似三角形对应边成比例得出y₁•y₂=-x₁•x₂，依此列出关于k的方程，求出k的值，进而得出当∠AOB＞90°时，k的取值范围．

解答 解：将y=kx+2k+2代入y=x²，得x²-kx-2k-2=0，
∵y=kx+2k+2与抛物线y=x²相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
∴y₁=x₁²，y₂=x₂²，x₁•x₂=-2k-2，
∴y₁•y₂=（x₁²）•（x₂²）=（-2k-2）²=4k²+8k+4
当∠AOB=90°时，如图，
过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．
在△AOM与△OBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOM=OBN=90°}\\{∠OAM=∠BON=90°-∠AOM}\end{array}\right.$，
∴△AOM∽△OBN，
∴$\frac{OM}{BN}$=$\frac{AM}{ON}$，即$\frac{-{x}_{1}}{-{y}_{2}}$=$\frac{-{y}_{1}}{{x}_{2}}$，
∴y₁•y₂=-x₁•x₂，
∴4k²+8k+4=-2k-2，
∵k＜0，
∴k=-$\frac{3}{2}$，
∴当∠AOB＞90°时，k＜-$\frac{3}{2}$，
故答案为：k＜-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用相似三角形的性质得出y₁•y₂=-x₁•x₂是解题关键．