Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{4}{3}$，AB=10，点O为AC上一点，以OA为半径作⊙O交AB于点D，BD的中垂线分别交BD，BC于点E，F，连接DF．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AO=x，DF=y，试求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由OA=OD知∠OAD=∠ODA，由DF=BF知∠FDB=∠B，根据∠OAD+∠B=90°得∠ODA+∠FDB=90°，即可得证；
（2）由tanA=$\frac{4}{3}$、AB=10知AC=6、BC=8，从而有OC=6-x、CF=8-y，根据OF²=OC²+CF²=OD²+DF²即可得出答案．

解答 解：（1）如图，连接OD，

∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵EF是BD的中垂线，
∴DF=BF，
∴∠FDB=∠B，
∵∠C=90°，
∴∠OAD+∠B=90°，
∴∠ODA+∠FDB=90°，
∴∠ODF=90°，
又∵OD为⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线．

（2）连接OF，
在Rt△ABC中，∵tanA=$\frac{4}{3}$，AB=10，
∴AC=6，BC=8，
∵AO=x，DF=y，
∴OC=6-x，CF=8-y，
在Rt△COF中，OF²=（6-x）²+（8-y）²，
在Rt△ODF中，OF²=x²+y²，
∴（6-x）²+（8-y）²=x²+y²，
整理，得：y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{25}{4}$，（0＜x≤6）．

点评 本题主要考查切线的判定与性质、中垂线的性质、勾股定理等知识点的运用，熟练掌握切线的判定与性质及勾股定理是解题的关键．