Question

（2013•北仑区二模）如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接0G．若OG•DE=3（2-

2

），则⊙O的面积为

6π

．

Answer 1

分析：构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解．

解答：解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．
∴OH=

1

2

AD，即AD=2OH，
又∵∠CAD=∠BAD?CD=BD，∴OH=OG．
在Rt△BDE和Rt△ADB中，
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，
∴Rt△BDE∽Rt△ADB，

BD

AD

=

DE

BD

，即BD²=AD•DE．
BD²=AD•DE=2OG•DE=6（2-

2

）．又BD=FD，
∴BF=2BD，
∴BF²=4BD²=24（2-

2

）①，AC=x，则BC=x，AB=

2

x，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAD=∠BAD．
在Rt△ABD和Rt△AFD中，
∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．
∴AF=AB=

2

BD=FD．
∴CF=AF-AC=

2

x-x=（

2

-1）x．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BF²=BC²+CF²=x²+[（

2

-1）x]²=2（2-

2

）x²②
由①、②，得2（2-

2

）x2=24（2-

2

），
∴x²=12，解得x=2

3

或-2

3

（舍去），
∴AB=

2

x=

2

•2

3

=2

6

，
∴⊙O的半径长为

6

．
∴S_⊙O=π•（

6

）²=6π．
故答案为6π．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线及圆周角定理等知识，综合性较强，解题时熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．