题目内容
10．
探究一个问题：任意给定一矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形A的周长和面积的一半．（1）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请说明是否存在满足要求的矩形B？
（2）如果已知矩形A的边长分别是m和n，试研究m，n满足什么条件时，矩形B存在？
（3）如图，是一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：
①满足条件的矩形A的两边长为5+$\sqrt{17}$和5-$\sqrt{17}$；
②满足条件的矩形B的两边长为1和4．
分析 （1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长为x、宽为y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．
（2）设所求矩形的长为x、宽为y，将两个函数关系式联立后得到方程组，利用方程△≥0时，存在这样的矩形即可．
（3）设周长为k，面积为S，由x和y分别表示矩形B的两边长，根据图象求得周长k和面积S；
①设矩形A的长为m、宽n，根据题意列出方程组，即可求解，
②根据图象即可求得．
解答 解：（1）不存在．
假设存在，不妨设矩形B的长为x、宽为y，
则$\left\{\begin{array}{l}{x+y=\frac{3}{2}}\\{xy=1}\end{array}\right.$，
消元得：x2-$\frac{3}{2}$x+1=0，
b2-4ac=$\frac{9}{4}$-4＜0，
所以矩形B不存在；
（2）设所求矩形的长为x、宽为y，
∵已知矩形的长为m、宽是n，新矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，
∴$\left\{\begin{array}{l}{xy=\frac{mn}{2}}\\{x+y=\frac{m+n}{2}}\end{array}\right.$
消元得x2-$\frac{1}{2}$（m+n）x+$\frac{1}{2}$mn=0，
△=[$\frac{1}{2}$（m+n）]2-4×$\frac{1}{2}$mn≥0，即：m2+n2-8mn≥0，
∴当m2+n2-8mn≥0时，存在另一个矩形使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半；
（3）设周长为k，面积为S，由x和y分别表示矩形B的两边长，
∴x+y=$\frac{k}{2}$，xy=2S，
∴y=-x+$\frac{k}{2}$，y=$\frac{2S}{4}$，
∵得（4，1）在函数y=-x+$\frac{k}{2}$和y=$\frac{2m}{x}$的图象上，
∴1=-4+$\frac{k}{2}$，1=$\frac{2m}{4}$，
解得k=10，S=2，
∵B的周长和面积分别是已知矩形A的周长和面积的一半．
①设矩形A的长是m、宽是n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2（m+n）=20}\\{\frac{1}{2}mn=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=5+\sqrt{17}}\\{n=5-\sqrt{17}}\end{array}\right.$，
∴矩形A的两边长为5+$\sqrt{17}$和5-$\sqrt{17}$；
②由图象可知满足条件的矩形B的两边长为1和4．
故答案为5+$\sqrt{17}$，5-$\sqrt{17}$；1，4．
点评 本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．
名校课堂系列答案
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=35°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的处，则∠ADB1等于（ ）| A． | 10° | B． | 15° | C． | 20° | D． | 30° |