Question

1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．
（1）求证：CF=EB．
（2）若AB=12，AF=8，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即DE=CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF=EB；
（2）设CF=x，则AE=12-x，再根据题意得出△ACD≌△AED，进而可得出结论．

解答 （1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，
∴DE=DC．
在△CDF与△EDB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DF=DB}\\{DC=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB．

（2）解：设CF=x，则AE=12-x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE．
在△ACD与△AED中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC=AE，即8+x=12-x，
解得x=2，即CF=2．

点评 本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．